זוויות צמודות וזוויות קדקודיותגאומטריה 571 · שיעור 1

גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות

שיעור 1: זוויות צמודות וזוויות קדקודיות

פרק 1 · זוויות

1זוויות צמודות – הגדרה ומשפט

2זוויות קדקודיות – הגדרה, משפט והוכחה

34 תרגילים פתורים, מהקל לקשה

הגדרה ומשפט

זוויות צמודות

שתי זוויות נקראות צמודות אם:

יש להן קדקוד משותף – הנקודה O

יש להן שוק משותפת – הקרן OC

השוקיים האחרות, OA ו־OB, יוצרות ישר אחד

∢AOC ו־∢COB הן זוויות צמודות

לפי ההגדרה

∢AOB = 180

זווית שטוחה

∢AOC + ∢COB = ∢AOB = 180

שתי הזוויות יחד ממלאות את הזווית השטוחה

משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות

∢COB = 180 − 55 = 125

דוגמה: אם ∢AOC = 55

📐 הגדרה

זוויות צמודות: קדקוד משותף, שוק משותפת, והשוקיים האחרות יוצרות ישר אחד

📐 הגדרה

זווית שטוחה (על ישר) שווה 180 מעלות

📐 משפט

סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות

∢1 + ∢2 = 180

הגדרה ומשפט

זוויות קדקודיות

שני ישרים, AB ו־CD, נחתכים בנקודה O

זוויות קדקודיות: השוקיים של זווית אחת הן המשך השוקיים של השנייה

∢AOC ו־∢BOD הן זוויות קדקודיות

OB המשך של OA, OD המשך של OC

גם ∢COB ו־∢AOD הן זוויות קדקודיות

אותה סיבה

משפט: זוויות קדקודיות שוות זו לזו

למה? הוכחה, שלב אחרי שלב:

∢AOC + ∢COB = 180

זוויות צמודות

∢COB + ∢BOD = 180

זוויות צמודות

∢AOC + ∢COB = ∢COB + ∢BOD

שני הסכומים שווים ל־180

∢AOC = ∢BOD

מחסירים ∢COB משני האגפים

📐 הגדרה

זוויות קדקודיות: השוקיים של זווית אחת הן המשך השוקיים של השנייה

📐 משפט

זוויות קדקודיות שוות זו לזו

∢1 = ∢3

📐 משפט

סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות

∢1 + ∢2 = 180

תרגיל 1 · זוויות צמודות · קל

AB ישר, והנקודה O נמצאת עליו
נתון: ∢AOC = 65
מצאו את ∢COB

∢AOC = 65 , AB ישר

נתון

∢AOC ו־∢COB זוויות צמודות

קדקוד משותף O, שוק משותפת OC, OA ו־OB על ישר אחד

∢AOC + ∢COB = 180

סכום זוויות צמודות

65 + ∢COB = 180

מציבים ∢AOC = 65

∢COB = 180 − 65

מעבירים את 65 לאגף השני

∢COB = 115

חישוב

בדיקה: 65 + 115 = 180 ✔

יוצא 180 – נכון

✅ פתרון סופי: ∢COB = 115 מעלות

📐 הגדרה

זוויות צמודות: קדקוד משותף, שוק משותפת, והשוקיים האחרות יוצרות ישר אחד

📐 משפט

סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות

∢1 + ∢2 = 180

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

תרגיל 2 · זוויות צמודות · עם משוואה

AB ישר, והנקודה O נמצאת עליו
נתון: ∢AOC = 3x + 15 ו־∢COB = x + 25
מצאו את x ואת שתי הזוויות

∢AOC = 3x + 15 , ∢COB = x + 25

נתון

∢AOC + ∢COB = 180

זוויות צמודות

(3x + 15) + (x + 25) = 180

מציבים את הביטויים

4x + 40 = 180

3x + x = 4x , 15 + 25 = 40

4x = 180 − 40 = 140

מעבירים את 40 לאגף השני

x = 140 : 4 = 35

מחלקים את שני האגפים ב־4

∢AOC = 3 · 35 + 15 = 105 + 15 = 120

מציבים x = 35

∢COB = 35 + 25 = 60

מציבים x = 35

בדיקה: 120 + 60 = 180 ✔

יוצא 180 – נכון

✅ פתרון סופי: x = 35 , ∢AOC = 120 מעלות , ∢COB = 60 מעלות

📐 משפט

סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות

∢1 + ∢2 = 180

📐 כלל

כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים

3x + x = 4x

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

4x = 140 ⟹ x = 140 : 4

תרגיל 3 · זוויות קדקודיות

הישרים AB ו־CD נחתכים בנקודה O
נתון: ∢AOC = 40
מצאו את שלוש הזוויות האחרות

∢AOC = 40

נתון

∢BOD = ∢AOC = 40

זוויות קדקודיות שוות

∢AOC + ∢COB = 180

זוויות צמודות

40 + ∢COB = 180

מציבים ∢AOC = 40

∢COB = 180 − 40 = 140

מעבירים את 40 לאגף השני

∢AOD = ∢COB = 140

זוויות קדקודיות שוות

בדיקה: 40 + 140 + 40 + 140 = 360 ✔

סביב נקודה – 360

✅ פתרון סופי: ∢BOD = 40 , ∢COB = 140 , ∢AOD = 140 מעלות

📐 משפט

זוויות קדקודיות שוות זו לזו

∢1 = ∢3

📐 משפט

סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות

∢1 + ∢2 = 180

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 משפט

סכום הזוויות סביב נקודה הוא 360 מעלות

תרגיל 4 · זוויות קדקודיות · עם משוואה

הישרים AB ו־CD נחתכים בנקודה O
נתון: ∢AOC = 5x − 20 ו־∢BOD = 3x + 30
מצאו את x ואת ∢COB

∢AOC = 5x − 20 , ∢BOD = 3x + 30

נתון

∢AOC = ∢BOD

זוויות קדקודיות שוות

5x − 20 = 3x + 30

מציבים את הביטויים

5x − 3x = 30 + 20

3x עובר לאגף של 5x, ו־20 עובר לאגף של 30 – מחליפים סימן

2x = 50

כינוס איברים דומים

x = 50 : 2 = 25

מחלקים את שני האגפים ב־2

∢AOC = 5 · 25 − 20 = 125 − 20 = 105

מציבים x = 25

∢BOD = 3 · 25 + 30 = 75 + 30 = 105 ✔

בדיקה: יצא שווה

∢AOC + ∢COB = 180

זוויות צמודות

∢COB = 180 − 105 = 75

מעבירים את 105 לאגף השני

✅ פתרון סופי: x = 25 , ∢COB = 75 מעלות

📐 משפט

זוויות קדקודיות שוות זו לזו

∢1 = ∢3

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 כלל

כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים

3x + x = 4x

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

4x = 140 ⟹ x = 140 : 4

📐 משפט

סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות

∢1 + ∢2 = 180

📌 מה למדנו היום

📐 משפט

סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות

∢1 + ∢2 = 180

📐 משפט

זוויות קדקודיות שוות זו לזו

∢1 = ∢3

💡 בכל תרגיל: מסמנים בשרטוט את הנתון, מזהים צמודות או קדקודיות, כותבים טענה + נימוק, ופותרים.

בשיעור הבא: ישרים מקבילים וזוויות בין מקבילים

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא